本年1月から開始した月1回の「数学間違い探し」の連載は幅広い読者から読まれているようで、心から感謝の意を表す。連載の背景や狙いは第1回、第2回に述べた通りである。第5回までは、初級、中級、上級の3題の「間違い探し」問題から構成し、前回の第6回は「若干難しい」という声を配慮して、上級はお休みした。今回からは、そのような声に配慮しつつ従来の形に戻すことにしよう。 【数学間違い探し】大学生でも間違える計算「40－16÷4÷2」の答えは？
初級問題
---------- 【問1】 小数の表し方には二つある。一つは、 2.34、 0.354 のように、小数点以下が有限個で終わる有限小数というもの。もう一つは、 3.10101010…、 0.3333… のように、小数点以下が無限に続く無限小数というもの。 この両方を見比べたA君は、以下のように考えた。A君の考え方が正しければ「正しい」と答え、間違っていれば間違っている点を指摘しなさい。 A君の考え:有限小数は1、2、3のように、ピタッと固定した整数と同じで、全く動いていない数である。一方、0.3333…を例にして無限小数を説明すると、 0.3、0.33=0.3+0.03、0.333=0.33+0.003、0.3333=0.333+0.0003、… のように、少しずつ小さい正の数を増やしている状態を意味する数である。 ----------
初級問題の解説
A君の考えは間違っている。 まず、0.9999…で説明すると、 0.9、0.99、0.999、0.9999、… という数の列は、1というピタッと固定した数に限りなく近づいている。その限りなく近づいている目標としての1を0.9999…と表すのである。 この考え方で0.3333…を説明すると、 0.3、0.33、0.333、0.3333、… という数の列は、 1/3 というピタッと固定した数に限りなく近づいている。その限りなく近づいている目標としての 1/3 を、0.3333…で表しているのである。 実は、ここで「1/3 はピタッと固定した数だと言われても、どうも納得できない」という疑問の声があるかも知れない。そこで、 1/3 はピタッと固定した数であることを別の立場から説明しておこう。 3進数の世界はご存知だろうか。10進数の世界で、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18…に相当する3進数は、1、2、10、11、12、20、21、22、100、101、102、110、111、112、120、121、122、200、…である。 要するに、 3進数の1=10進数の1 3進数の10=10進数の3 3進数の100=10進数の9 3進数の1000=10進数の27 … … となっている。さらに、 3進数の0.1=10進数の1/3 3進数の0.01=10進数の1/9 3進数の0.001=10進数の1/27 … … となっている。したがって、10進数の0.3333…は、3進数では0.1というピタッと固定した数なのである。
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